О курсе

На сегодняшний день метод конечных элементов является одним из эффективных и наиболее часто используемых численных методов для решения научных и прикладных инженерных задач, математические модели которых описываются с помощью дифференциальных уравнений в частных производных. В частности, МКЭ применяется для решения задач математической физики (механика деформируемого твердого тела, теплообмен, электромагнетизм, аэро- и гидродинамика). О популярности метода говорит тот факт, что результатом запроса "finite element method" в поисковой системе Google является ~16.1 млн страниц, для сравнения с конечно-разностным методом: "finite difference method" ~3.0 млн страниц (август 2021 г.).

Данный курс кратко представляет математические основы метода конечных элементов для численного решения уравнений с частными производными эллиптического типа. Для построения метода необходимо перейти от краевой задачи к вариационной (интегральной) формулировке. Исследование вопроса существования решения вариационной задачи приводит к применению пространств Соболева, в которых ищется неизвестное решение. Численная реализация метода становится возможной за счет перехода к конечномерным подпространствам (метод Галеркина). Специальное построение базисных функций на основе триангуляции области позволяет применять метод конечных элементов для задач с большим числом неизвестных ~ 10⁶–10⁹.

На практических занятиях рассматриваются двухмерные и трехмерные задачи, применяются линейные и квадратичные элементы. Задания выполняются в системе Matlab с применением Partial Differential Equation Toolbox, а также на Python с использование пакета FEniCS (fenicsproject.org).

Интеграция метода конечных элементов в систему компьютерной математики

Лекционные материалы с заданиями по теории и практике

#	Тема	Детали	Дата	Скачать
1	Введение	Типы уравнений с частными производными второго порядка; основные уравнения математической физики	1 сен	(изменения от 07.09)
2	Вариационная формулировка эллиптической краевой задачи	Классическое решение; формула интегрирования по частям; вариационная задача; эквивалентность краевой задачи, задачи минимизации и вариационной задачи	08 сен, 20 сен	(изменения от 06.10)
3	Пространства Соболева	Пространство Лебега; обобщенная производная; норма и полунорма в пространствах Соболева; неравенство Буняковского; неравенство Фридрихса	20 сен, 11 окт	(изменения от 14.10)
4	Существование и единственность решения вариационной задачи	Непрерывность и эллиптичность билинейной формы; лемма Лакса-Мильграма; обобщенное решение краевой задачи; существование и единственность обобщенного решения задачи Дирихле, задачи Неймана	11 окт, 18 окт	(изменения от 27.10)
5	Метод Галеркина. Пространство конечных элементов	Дискретная задача; финитная функция; конечный элемент; функции формы; типовой конечный элемент на треугольнике	01 ноя, 15 ноя
6	Поэлементное построение дискретной задачи для пространства P1-элементов	Локальная матрица системы; локальный вектор правой части; реализация условия Дирихле на основе глобального базиса; реализация граничных условий для смешанной задачи; реализация задачи Неймана для уравнения Пуассона	29 ноя
7	Сходимость метода конечных элементов	Априорная оценка ошибки; порядок сходимости; лемма Сеа; ортогональность ошибки конечно-элементному пространству; оценка ошибки интерполяции; оценка ошибки в H1- и L2-нормах; прием Нитше	13 дек

Практика

#	Тема	Материал	Скачать
1а	Знакомство с Partial Differential Equation Toolbox системы Matlab. Решение краевой задачи для уравнения Пуассона, сравнение точного и конечно-элементного решения	Задание 1.4, 1.5, 1.6 из Темы 1	(скриптовая реализация в Matlab)
1б	Знакомство с пакетом FEniCS для Python (fenicsproject.org). Решение краевой задачи для уравнения Пуассона, сравнение точного и конечно-элементного решения	Задание 1.7 из Темы 1	Для работы с FEniCS через Colab см. ссылку. (реализация в FEniCS) (альтернативная реализация в FEniCS)
2	Задача о стационарном распределении тепла в двухслойной пластине. Конечно-элементная реализация в Matlab (GUI или скриптовая реализация). Конечно-элементная реализация средствами FEniCS на Python, вспомогательные ссылки: Subdomains and Boundary Conditions Handling Domains with Different Materials	Задание 2.5 из Темы 2	(реализация в FEniCS)
3	Задача о рассеянии волны в канале. Влияние геометрии канала на решение. Реализация в Matlab (GUI + скриптовая реализация). Реализация средствами библиотеки FEniCS на Python. Реализация в Mathematica	Задание 3.4 из Темы 3
4	Применение метода конечных элементов для нестационарных краевых задач в трехмерной области	Задание 4.4 из Темы 4
5	Построение и визуализация базисных функций для P3-элемента (кубическая аппроксимация) на произвольном треугольнике	Задание 5.4, 5.5, 5.6 из Темы 5
6	Реализация алгоритма метода конечных элементов в пространстве P1-элементов	Задание 6.1 (задача Дирихле) из Темы 6

Литература

Владимиров, В.С. (1981): Уравнения математической физики. М: Наука
Оганесян, Л.А., Руховец Л.А. (1979): Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Ереван: Изд-во АН АрмССР
Тихонов, А.Н., Самарский, А.А. (1977): Уравнения математической физики. М: Наука
Шайдуров, В.В. (1989): Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука
Braess, D. (2003): Finite Elemente — Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie. 3. Auflage. Berlin, Springer
Brenner, S.C. and Scott, L.R. (1994, 2008): The Mathematical Theory of Finite Element Methods. Berlin, Springer
Ciarlet, P.G. (1978): The finite element method for elliptic problems. North Holland
Gekeler, E.W. (2006): Mathematische Methoden zur Mechanik. Ein Handbuch mit MATLAB-Experimenten. Berlin, Springer
Göring, H., Roos, H.-C. and Tobiska, L. (2010): Finite-Elemente-Methode für Anfänger. 4. Auflage. Berlin, Wiley-VCH
Langtangen, H.P. and Logg, A. (2016): Solving PDEs in Python -- The FEniCS Tutorial Volume I. Berlin, Springer
Logg, A., Mardal K.-A. and Wells, G. N. (2012): Automated solution of partial differential equations by the finite element method. Berlin, Springer
Verfürth, V. (1996): A review of a posteriori error estimation and adaptive mesh-refinement techniques. Stuttgart, Wiley-Teubner
Сороко А. (2018): Численное моделирование энергетических состояний квантовой точки. Дипломная работа, ММФ, БГУ.