О курсе

На сегодняшний день метод конечных элементов является одним из эффективных и, как следствие, наиболее часто используемых численных методов для решения научных и прикладных инженерных задач, математические модели которых описываются с помощью уравнений в частных производных. В частности, МКЭ применяется для решения задач математической физики (механика твердых тел, теплопроводность, электромагнетизм, аэро- и гидродинамика). О популярности метода говорит тот факт, что результатом запроса "finite element method" в поисковой системе Google является ~12.5 млн страниц, для сравнения с конечно-разностным методом: "finite difference method" ~2.2 млн страниц (август 2020 г.).

Данный курс кратко представляет математические основы метода конечных элементов для численного решения уравнений с частными производными эллиптического типа. Для построения метода необходимо перейти от краевой задачи к вариационной (интегральной) формулировке. Исследование вопроса существования решения вариационной задачи приводит к применению пространств Соболева, в которых ищется неизвестное решение. Численная реализация метода становится возможной за счет перехода к конечномерным подпространствам (метод Галеркина). Специальное построение базисных функций на основе триангуляции области позволяет применять метод конечных элементов для задач с большим числом неизвестных ~ 10⁶–10⁹.

На практических занятиях рассматриваются двухмерные и трехмерные задачи, применяются линейные и квадратичные элементы. Задания выполняются в системе Matlab с применением Partial Differential Equation Toolbox, а также на Python с использование пакета FEniCS (fenicsproject.org).

Внешнее описание метода конечных элементов с интеграцией в систему компьютерной математики

Лекционные материалы с заданиями по теории и практике

#	Тема	Детали	Дата	Скачать
1	Введение	Типы уравнений с частными производными второго порядка; основные уравнения математической физики	1 сен
2	Вариационная формулировка эллиптической краевой задачи	Классическое решение; формула интегрирования по частям; вариационная задача; эквивалентность краевой задачи, задачи минимизации и вариационной задачи	21 сен
3	Пространства Соболева	Пространство Лебега; обобщенная производная; норма и полунорма в пространствах Соболева; неравенство Буняковского; неравенство Фридрихса	05 окт	(изменения от 16.10)
4	Существование и единственность решения вариационной задачи	Непрерывность и эллиптичность билинейной формы; лемма Лакса-Мильграма; обобщенное решение краевой задачи; существование и единственность обобщенного решения задачи Дирихле, задачи Неймана	19 окт
5	Метод Галеркина. Пространство конечных элементов	Дискретная задача; финитная функция; конечный элемент; функции формы; типовой конечный элемент на треугольнике	02 ноя, 06 ноя	(изменения от 20.11)
6	Поэлементное построение дискретной задачи для пространства P1-элементов	Локальная матрица системы; локальный вектор правой части; реализация условия Дирихле на основе глобального базиса; реализация граничных условий для смешанной задачи; реализация задачи Неймана для уравнения Пуассона	20 ноя, 27 ноя
7	Сходимость метода конечных элементов	Априорная оценка ошибки; порядок сходимости; лемма Сеа; ортогональность ошибки конечно-элементному пространству; оценка ошибки интерполяции; оценка ошибки в H1- и L2-нормах; прием Нитше	11 дек

Практика

#	Тема	Материал	Скачать
1	Знакомство с Partial Differential Equation Toolbox системы Matlab. Решение краевой задачи для уравнения Пуассона, сравнение точного и конечно-элементного решения решения	Задание 1.4, 1.5, 1.6 из Темы 1
2	Задача о распространении тепла в двухслойной пластине. Реализация в Matlab. Реализация средствами библиотеки FEniCS на Python	Задание 2.5 из Темы 2
3	Задача о структуре магнитного поля внутри сферической капли магнитной жидкости. Реализация в Matlab. Реализация средствами библиотеки FEniCS на Python	Задание 3.4 из Темы 3
4	Построение и визуализация базисных функций для P3-элемента (кубическая аппроксимация) на произвольном треугольнике	Задание 5.4, 5.5, 5.6 из Темы 5
5	Реализация алгоритма метода конечных элементов в пространстве P1-элементов	Задание 6.1 (задача Дирихле) из Темы 6
6	Вычисление экспериментальных порядков сходимости конечно-элементного решения в L2- и H1-нормах	Задание 7.1 из Темы 7

Литература

• Владимиров, В.С. (1981): Уравнения математической физики. М: Наука
• Оганесян, Л.А., Руховец Л.А. (1979): Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Ереван: Изд-во АН АрмССР
• Тихонов, А.Н., Самарский, А.А. (1977): Уравнения математической физики. М: Наука
• Шайдуров, В.В. (1989): Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука
• Braess, D. (2003): Finite Elemente — Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie. 3. Auflage. Berlin, Springer
• Brenner, S.C. and Scott, L.R. (1994, 2008): The Mathematical Theory of Finite Element Methods. Berlin, Springer
• Ciarlet, P.G. (1978): The finite element method for elliptic problems. North Holland
• Gekeler, E.W. (2006): Mathematische Methoden zur Mechanik. Ein Handbuch mit MATLAB-Experimenten. Berlin, Springer
• Göring, H., Roos, H.-C. and Tobiska, L. (2010): Finite-Elemente-Methode für Anfänger. 4. Auflage. Berlin, Wiley-VCH
• Langtangen, H.P. and Logg, A. (2016): Solving PDEs in Python -- The FEniCS Tutorial Volume I. Berlin, Springer
• Logg, A., Mardal K.-A. and Wells, G. N. (2012): Automated solution of partial differential equations by the finite element method. Berlin, Springer
• Verfürth, V. (1996): A review of a posteriori error estimation and adaptive mesh-refinement techniques. Stuttgart, Wiley-Teubner
• Сороко А. (2018): Численное моделирование энергетических состояний квантовой точки. Дипломная работа, ММФ, БГУ.