Лабораторная работа №7

Математические модели процессов переноса частиц вещества

Мат. моделирование динамических процессов 1
БГУ, ММФ, 3 курс, 6 семестр
специальность Компьютерная математика и системный анализ
май 2025
ММФ, КМ и СА, доц. Лаврова О.А., доц. Щеглова Н.Л.

Аналитическое решение для уравнения переноса

Уравнение переноса является частным случаем уравнения непрерывности, когда скорость движения частиц вещества постоянная u=const. Построим аналитическое решение уравнения переноса в общем виде для заданной скорости движения частиц u=(Subscript[u, 0])=const, и заданной начальной плотности частиц r(x,0)=r0(x) .

ClearAll[r,r0]

DSolve[{D[r[x,t],t]+(Subscript[u, 0])D[r[x,t],x]==0,r[x,0]==r0[x]},r[x,t],{x,t}]//FullSimplify

Построим аналитическое решение для явно заданного значения скорости движения частиц (Subscript[u, 0]) и явно заданной функции начальной плотности частиц r0(x)

(Subscript[u, 0])=1;r0[x_]:=(E^(-(x^2)));

r=r /.DSolve[{D[r[x,t],t]+(Subscript[u, 0])D[r[x,t],x]==0,r[x,0]==r0[x]},r,{x,t}]//Flatten//First

Решение представляет собой бегущую волну (traveling wave), т.е. волну, которая движется в пространстве без изменения формы. Для рассматриваемого примера волна движется вправо относительно системы координат (t,x), т.к. скорость движения частиц вещества положительна, (Subscript[u, 0])=const>0.

Plot3D[r[x,t],{x,-2,10},{t,0,10},AxesLabel->Automatic]

Покажем, что пространственный профиль (e^(-(x^2))) движется без искажений со скоростью (Subscript[u, 0])=1>0 вправо

Manipulate[Plot[r[x,t],{x,-2,10},PlotRange->{Automatic,{0,1}}],{t,0,10}]

Построим характеристики или характеристические кривые, которые являются линиями уровня для функции плотности частиц

ContourPlot[r[x,t],{x,-2,10},{t,0,10},PlotLegends->Automatic]

Для уравнения переноса характеристиками являются параллельные прямые вида x-(Subscript[u, 0])t=const

Аналитическое решение для невязкого уравнения Бюргерса

Невязкое уравнение Бюргерса является частным случаем уравнения непрерывности, когда скорость движения частиц вещества равна плотности вещества u=ρ. Построим аналитическое решение уравнения переноса в общем виде без задания начального условия

ClearAll[r0]

DSolve[D[r1[x,t],t]+r1[x,t]D[r1[x,t],x]==0,r1[x,t],{x,t}]

Определим начальное условие, которое соответствует моделированию дорожного трафика с учетом работы светофора, расположенного в точке x=0, при смене цвета светофора с красного на зеленый в момент времени t=0. При этом полагается, что перед светофором плотно стоят машины, а после светофора дорога пустая.

r0[x_]:=Which[x≤ 0,-1 (*пробка*),x>0,1 (*пустая дорога*)];

r1=r1/.Solve[r1==r0[x-t r1]&&t≥0,r1]//FullSimplify

Plot3D[r1,{x,-10,10},{t,0,10},AxesLabel->Automatic]

Решение является разрывным в точке x=0, t=0 в силу начального условия. При этом решение неопределено при -t<x<t.

Доопределим решение при -t<x<t, аппроксимируя плотность непрерывной функцией

r2[x_,t_?NonNegative]:=Which[x≤-t,-1 (*пробка*),-t<x<t,(x/t),x>t,1 (*пустая дорога*)];

Plot3D[r2[x,t],{x,-10,10},{t,0,10},AxesLabel->Automatic]

Построим характеристики или характеристические кривые, которые являются линиями уровня для плотности

ContourPlot[r2[x,t],{x,-10,10},{t,0,10},ContourLabels->True]

По графику видно, что характеристические линии являются прямыми линиями для -1<ρ<1 и пересекаются в точке при x=0, t=0. В отличие от невязкого урвнения Бюргера в уравнении переноса характеристические линии всегда являются параллельными прямыми.

Задание 1. Перенос загрязнения в притоке реки

Содержательная постановка задачи

[1, раздел 4.1 стр. 93--97] В притоке реки за (10^4) м до впадения притока в реку происходит выброс частиц химического вещества в воду в течение 5 мин. Начальное содержание частиц химического вещества в воде составляет 10%, т.е. плотность субстанции в воде равна 0.1 (((мин*м))^(-1)) в период выброса. Скорость движения частиц вещества в месте выброса определяется скоростью движения воды и равна 60 м/мин. Приток расширяется и скорость движения воды падает на 20% в месте впадения притока в реку. Дополнительно нужно учесть, что каждую минуту 1% химического вещества оседает на дно. Необходимо описать и проанализировать процесс переноса химического вещества в притоке реки.

Концептуальная постановка задачи

Приток реки описывается прямой линией. Совмещаем ось Ox  с направлением движения воды в притоке реки. Полагаем, что выброс химического вещества осуществляется в точке x=-a, и за 5 мин химическое вещество с плотностью γ=0.1 (((мин*м))^(-1)) заполняет отрезок [-a,0] притока реки. С учетом того, что скорость движения частиц вещества в момент выброса (Subscript[u, 0])=60 м/мин, не учитывая расширения притока в течении 5 мин, имеем, что a=(Subscript[u, 0])*5 мин =300м. Обозначим через x=L место впадения притока в реку. По условию задачи L=(10^4) м.

Полагаем, что плотность химического вещества описывается функцией ρ=ρ(x,t), где 0≤x≤L соответствует моделированию движения только в притоке реки .

Полагаем, что выброс химического вещества заканчивается в момент времени t=0. Тогда начальное условие ρ(x,0)=(Subscript[ρ, 0])(x) для плотности химического вещества задается следующей функцией: (Subscript[ρ, 0])(x)=γ для x∈[-a,0] и (Subscript[ρ, 0])(x)=0 для x≥0.

Из-за расширения притока скорость движения частиц u будет зависеть от x. Известно, что в точке x=0 скорость u(x)=(Subscript[u, 0]) и при x=L скорость потока падает на 20%. Тогда можно построить зависимость u(x)=(Subscript[u, 0])(1-α x), где α=(0.2/L)((м)^(-1)), x≥0.

Оседание химической субстанции на дно реки задается дополнительным слагаемым σ ρ(x,t) в левой части уравнения непрерывности, где σ=0.01 ((мин)^(-1)).

Задание 1.1 (Математическая модель)

Постройте математическую модель переноса частиц химического вещества в притоке реки для 0≤x≤L и t≥0 на основе концептуальной постановки задачи.

Задание 1.2 (Аналитическое решение)

Постройте аналитическое решение математической модели из Задания 1.1 с помощью метода характеристик.

Сравните постронное аналитическое решение с аналитическим решением, полученным с помощью функции DSolve.

Задание 1.3 (Время впадения химического вещества в реку)

Оцените временной интервал, в течение которого химическое вещество будет попадать в реку. Для этого по аналитическому решению для плотности химического вещества, построенному в Задании 1.2, необходимо найти временной интервал, при котором плотность химического вещества в месте впадения притока в реку положительна, ρ(x=L,t)>0 . 

Сравните с результатом из [1, раздел 4.1 стр. 93--97], 186 мин ≤ (SuperStar[t])≤191 мин.

Задание 1.4 (Количество вещества, которое попадет в реку)

Количество химического вещества, попавшего в приток реки в месте выброса, вычисляется по формуле (∫_0^(5 мин))γdt=0.5 ((м)^(-1)). 

Вычислите количество химического вещества, которое попадет в реку. Для этого необходимо вычислить интеграл по времени от функции плотности в месте впадения притока в реку ρ(L,t) по временному интервалу из Задания 1.3. 

Вычислите, какое количество химического вещества осядет на дно до момента впадения в реку?

Задание 2. Перенос загрязнения в сужающемся притоке реки

Выполните Задания 1.1--1.4 при изменении одного из условий в концептуальной поставке задачи: приток реки сужается и скорость движения воды увеличивается на 20% в месте впадения притока в реку.

Задание 3. Моделирование дорожного трафика

Дорожный трафик можно описывать с помощью уравнения непрерывности для плотности автомобилей ρ(x,t) в предположении движения автомобилей по прямой линии и заданной скорости движения автомобилей, которая зависит только от плотности автомобилей v(ρ)=(Subscript[v, max])(1-(ρ/(Subscript[ρ, max]))).

В безразмерных переменных математическая модель записывается в виде невязкого уравнения Бюргерса

((∂ρ)/(∂t))+ρ ((∂ρ)/(∂x))==0

и начального условия

ρ(x,0)==(Subscript[ρ, 0])(x).

Отметим, что в безразмерных переменных плотность автомобилей изменяется от -1 до 1, -1≤ρ(x,t)≤1 , где значение ρ=-1 соответствует пробке на дороге, ρ=0 -- умеренному трафик, ρ=1 -- пустой дороге.

Задание 3.1 (Аналитическое решение)

Постройте аналитическое решение математической модели для невязкого уравнения Бюргерса с помощью метода характеристик для  начального условия вида

(Subscript[ρ, 0])(x)=1 при  x<0,                                         (* пустая дорога *)

(Subscript[ρ, 0])(x)=1-x при  0≤x≤1,

(Subscript[ρ, 0])(x)=0 при x>1.                                            (* умеренный трафик *)

Изобразите график плотности автомобилей, используя построенное аналитическое решение. 

Предложите физическую интерпретацию построенного решения.

Задание 4. Двусолитонные решения Кортевега-де Фриза

Солитон -- это уединенная волна, которая сохраняет свою форму и скорость при движении и столкновении с себе подобными уединенными волнами.

Уравнение Кортевега-де Фриза (построено в 1895 году)

(((∂^3)u(x,t))/(∂(x^3)))+((∂u(x,t))/(∂t))+6 u(x,t) ((∂u(x,t))/(∂x))==0

описывает отклонение свободной поверхности воды от положения равновесия при определенных предположениях. В частности, волна должна быть длинной, т.е. длина волны существенно больше глубины слоя воды.

Двусолитонное решение уравнения Кортевега-де Фриза строится по формуле, см., например, [3, стр. 580]

u(x,t)=2(((∂^2)log(F(x,t)))/(∂(x^2))),F(x,t)=1+(Subscript[f, 1])(x,t)+(Subscript[f, 2])(x,t)+A (Subscript[f, 2])(x,t) (Subscript[f, 1])(x,t),

где (Subscript[f, i])(x,t)=(e^((Subscript[θ, i])(x,t))), (Subscript[θ, i])(x,t)=-t (Subscript[a, i]^3)+x (Subscript[a, i])+(Subscript[δ, i]), A=((((((Subscript[a, 1])-(Subscript[a, 2]))/((Subscript[a, 1])+(Subscript[a, 2])))))^2).

Задание 4.1 (Аналитическое односолитонное решение)

Постройте аналитическое решение уравнения Кортевега-де Фриза с помощью функции DSolve.

Продемонстрируйте, что пространственный профиль решения урвнения сохраняется во времени, т.е. решение представляет собой бегущую волну.

Задание 4.2 (Аналитическое двусолитонное решение)

Покажите, что аналитическое решение вида (2) удовлетворяет уравнению Кортевега-де Фриза (1).

Задание 4.3 (Столкновение двух солитонов)

Осуществите динамическую визуализацию двусолитонного решения уравнения Кортевега-де Фриза при различных значениях параметров (Subscript[a, 1]), (Subscript[a, 2]), (Subscript[δ, 1]), (Subscript[δ, 2]). 

Подберите значения параметров, соответствующие столкновению двух солитонов. 

Продемонстрируйте, что пространтсвенный профиль каждого из солитонов сохраняется после их столкновения.

Задание 5 (необязательное). Моделирование дорожного трафика в туннеле

[2, стр. 253] Дорожный трафик в туннеле можно описывать с помощью уравнения непрерывности для плотности автомобилей ρ(x,t) в предположении движения по прямой линии и заданной скорости потока, зависящей от плотности v(ρ)=(Subscript[v, max]) при 0≤ρ≤(Subscript[ρ, c]) и v(ρ)=(((Subscript[v, max]) log(((Subscript[ρ, max])/ρ)))/(log(((Subscript[ρ, max])/(Subscript[ρ, c]))))) при (Subscript[ρ, c])≤ρ≤(Subscript[ρ, max]).

Полагаем, что въезд в туннель расположен в точке x=0 и автомобили при максимальной плотности ожидают открытия туннеля в момент времени t=0.

(Subscript[ρ, 0])(x)=(Subscript[ρ, max]) при  x<0,

(Subscript[ρ, 0])(x)=0 при x>0.

Задание 5.1 (Математическая модель)

Сформулируйте математическую модель задачи о дорожном трафике в туннеле.

Задание 5.2 (Аналитическое решение)

Постройте аналитическое решение математической модели, сформулированной в Задании 5.1.

Изобразите график плотности автомобилей для заданных значений параметров: (Subscript[ρ, c])=7 машин/км, (Subscript[ρ, max])=110 машин/км, (Subscript[v, max])=90 км/ч.

Литература

[1] A. Juengel. Mathematische Modellierung mit Differentialgleichung, Vorlesungsskript, 2003.

[2] S. Salsa. Partial Differential Equations in Action. From Modelling to Theory, Springer, 2016.

[3] G.B. Whitham. Linear and Nonlinear Waves, Wiley, 1999.