Лабораторная работа №3

Нелинейные математические модели колебательных явлений

Мат. моделирование динамических процессов 1
БГУ, ММФ, 3 курс, 6 семестр
специальность Компьютерная математика и системный анализ
март 2025
ММФ, КМ и СА, доц. Лаврова О.А., доц. Щеглова Н.Л.

Задание 1. Математический маятник под действием силы тяжести без учета сопротивления среды

Концептуальная постановка задачи

Объектом исследования является физическое тело массы m, которое подвешено на конце невесомого и нерастяжимого стержня длины l к неподвижной опоре. Тело имеет небольшие размеры по сравнению с длиной стержня, поэтому принимаем его за материальную точку.

Тело качается в фиксированной вертикальной плоскости. Обозначим через α(t) угол отклонения стержня от вертикального положения равновесия α(t)=0. Будем считать, что α(t)>0 при отклонении стержня против часовой стрелки.

Тело находится под действием силы тяжести (OverBar[F])=m (OverBar[g]); силой сопротивления среды пренебрегаем. Допущение об отсутствии трения справедливо для небольших промежутков времени моделирования.

g=QuantityMagnitude@WolframAlpha["Gravitational acceleration value", {{"Value", 1}, "QuantityData"}]

Принимая во внимание, что в момент времени t=0 стержень отклонили на угол (Subscript[α, 0]) и телу сообщили угловую скорость (Subscript[ω, 0]), требуется определить угол отклонения стержня α(t) как функцию времени.

Математическая модель

Математическая модель представляет собой задачу Коши для нелинейного однородного дифференциального уравнения второго порядка следующего вида

(((d^2)α(t))/(d(t^2)))+((g )/l)sin(α(t))==0,
α(0)=(Subscript[α, 0]),
((dα(0))/(dt))=(Subscript[ω, 0]).

В случае малых колебаний маятника математическая модель (1) упрощается за счет допущения, что sin(α)≈α при α<<1 и сводится к модели гармонического осциллятора

(((d^2)α(t))/(d(t^2)))+((g )/l)α(t)==0,
α(0)=(Subscript[α, 0]),
((dα(0))/(dt))=(Subscript[ω, 0]).

Задание 1.1 (Фазовый портрет)

На основании анализа математической модели и уравнения фазовых траекторий (ω^2)=2(g/l)cos(α)+const сформулируйте выводы:

при каких значениях (Subscript[α, 0]) и (Subscript[ω, 0]) маятник находится в верхнем и нижнем положениях равновесия;

при каких ограничениях на начальные данные (Subscript[α, 0]) и (Subscript[ω, 0]) маятник совершает колебательные движения или покачивания (замкнутые фазовые траектории);

при каких ограничениях на начальные данные (Subscript[α, 0]) и (Subscript[ω, 0]) маятник совершает вращательные движения (волнистые фазовые траектории);

при каких ограничениях на начальные данные (Subscript[α, 0]) и (Subscript[ω, 0]) фазовая траектория является сепаратрисой, т.е. разделяет колебательное и вращательное движение маятника.

Изобразите фазовый портрет динамической системы, соответствующей математической модели маятника, на фазовой плоскости переменных  α,ω:=((dα(t))/(dt)) . Выделите цветом в фазовой плоскости четыре траектории, соответствующие разным типам движения маятника (нижнее положение равновесия, колебательное движение, вращательное движение, сепаратриса).

Обратите внимание, что фазовый портрет периодичен по α с периодом  2π, так что достаточно ограничиться фрзовым портретом для -π<=α<=π. Фозовым многообразием здесь служит не плоскость, а цилиндрическая поверхность.

Задание 1.2 (Динамическая визуализация)

Осуществите динамическую визуализацию поведения маятника для интерактивного задания параметров модели l>0, (Subscript[α, 0]) и (Subscript[ω, 0]) с учетом трех режимов его движения: стационарный режим, колебательные движения, вращательные движения. 

В интерактивном объекте укажите  тип движения маятника на основании выводов из Задания 1.1.

Задание 1.3 (Период колебаний)

Постройте зависимость периода колебаний маятника T от начального угла (Subscript[α, 0]) вида T=T((Subscript[α, 0]))=4 (Sqrt[(l/(2 g))]) (∫_0^(Subscript[α, 0]))(1/(Sqrt[cos(α)-cos((Subscript[α, 0]))]))dα  в предположении, что начальная скорость равна нулю (Subscript[ω, 0])=0.  Найти значение периода можно из закона сохранения энергии, см. [1, стр. 44-45]. Альтернативный способ построения зависимости T((Subscript[α, 0])): 
 - умножить дифференциальное уравнения из математической модели (1) на α'(t);
 - проинтегрировать полученное уравнения по времени от момента времени t=0, что соответствует положению α=(Subscript[α, 0]) и начальной скорости (Subscript[ω, 0])=0, до момента времени t=T/4, что соответствует α=0.

Зависимость периода колебаний T от начального угла (Subscript[α, 0]) является основной причиной того, что маятниковые часы не точные, так как тело  в крайнем положении отклоняется на угол, отличный от (Subscript[α, 0]) , см. [1, стр. 44-45].

Аналитическая зависимость периода колебаний маятника от начального угла может быть найдена также в базе знаний Wolfram Alpha

First@FormulaData[{"Pendulum", "Standard"}]

В предположении о малых колебаниях маятника и без учета сопротивления среды период колебаний маятника T не будет зависеть от начальных данных. На основании математической модели (2) постройте зависимость периода колебаний T от параметров модели l и g. Определите длину стержня l для создания секундного маятника с периодом колебания T=2c.

Задание 2. Модель двухвидового взаимодействия “хищник-жертва”

Система уравнений Лотки-Вольтерра задает математическую модель взаимодействия популяции жертв с численностью N=N(t)≥0 и популяции хищников с численностью M=M(t)≥0

((dN)/(dt))==    α N - c N M,
((dM)/(dt))==-β M + d N M,
N((Subscript[t, 0]))=(Subscript[N, 0]),
M((Subscript[t, 0]))=(Subscript[M, 0]),

где 
α=const>0 -- коэффициент прироста жертв при отсутствии хищников в условиях неограниченности ресурса для питания; 
c=const>0 -- коэффициент пропорциональности при взаимодействии  жертв с хищниками, соответствующий уменьшению жертв; 
β=const>0 -- коэффициент смертности хищников при отсутствии жертв; 
d=const>0 -- коэффициент пропорциональности при взаимодействии  жертв с хищниками, соответствующий увеличению жертв.

Задание 2.1 (Колебательное поведение)

Проиллюстрируйте существование колебательного поведения системы “хищник-жертва” в окрестности нетривиального положения равновесия (SuperStar[N])=(β/d), (SuperStar[M])=(α/c)  по решению математической модели (3) и по фазовому портрету динамической системы. 

Решение необходимо построить численно, например, с помощью функции NDSolve. 

Продемонстрируйте  на фазовом портрете, что положение равновесия (SuperStar[N])=(β/d), (SuperStar[M])=(α/c) является центром: окрестность положения равновесия ((SuperStar[N]),(SuperStar[M])) заполнена непересекающимися замкнутыми фазовыми траекториями, окружающими ((SuperStar[N]),(SuperStar[M])).

Задание 2.2 (Неявная зависимость между N(t) и M(t))

Постройте дифференциальное уравнение фазовых траекторий для математической модели (3) и, решая его, найдите неявную зависимость между численностями хищников и жертв в виде

M(((t))^α)((N(t))^β)(e^(-cM(t)-dN(t)))=C,

где значение неизвестной константы C определяется из начальных условий.

Задание 2.3 (Структурная неустойчивость модели “хищник-жертва”)

Проиллюстрируйте структурную неустойчивость математической модели “хищник-жертва” (3).  Для этого измените математическую модель (3) добавлением к правым частям произвольных слагаемых вида ϵ f(N,M), где ϵ<<1. Продемонстрируйте по фазовому портрету и по поведению решения для измененной математической модели, что изменяется качественное поведение системы уравнений Лотки-Вольтерра в окрестности нетривиального положения равновесия ((SuperStar[N]),(SuperStar[M])), т.е. что центр изменяется на другой тип особой точки. 

Для описания реальных процессов структурно-неустойчивые модели использовать нельзя!

Литература

[1] В. В. Амелькин. Дифференциальные уравнения в приложениях. -- М.: Наука, 1987.

[2] А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. Теория колебаний. -- М.: Физматлит, 1959.