Лекции

#ТемаДата

M1

Сигналы

L01Сравнение сигналов. Колебания05 сен
L02Спектр сигнала. Ряд Фурье. Преобразования Фурье: FT, DTFT, DFT, FFT12 сен
L03Анализ временного ряда методом «Гусеница» (SSA)19 сен

M2

Вейвлет-анализ

L04Преобразование Хаара, вейвлеты Хаара (Haar)26 сен
L05Семейства ортогональных вейвлетов Добеши (Daubechies)   03 окт
L06Кратномасштабный анализ/синтез сигнала. Алгоритм Малла (Mallat)10 окт
L07Дискретное вейвлет-преобразование (DWT). Вейвлет-пакеты17 окт

M3

Лифтинг

L08Лифтинг-схема дискретного вейвлет-преобразования (DWT)24 окт
L09Полифазная матрица дискретного вейвлет-преобразования31 окт
L10Алгоритм Евклида для полиномов Лорана и факторизация полифазной матрицы   14 ноя
L11Связь между лифтинг-схемой, полифазной матрицей и банком фильтров дискретного вейвлет-преобразования21 ноя

M4

Базисные сплайн-вейвлеты

L12Кривые и поверхности последовательного деления28 ноя
L13Равномерные базисные сплайны04 дек
L14Кратномасштабное редактирование кривой05 дек
L15Неравномерные базисные сплайны11 дек
L16Процедура вставки узлов (алгоритм Осло)12 дек
L17Полуортогональные вейвлет-семейства базисных сплайнов, интерполирующих крайние точки19 дек
L18Приложения вейвлет-анализа26 дек

Лабораторные работы

#ТемаСдать
M1T01Сравнение временных рядов   10 сен
M1T02Преобразования Фурье       17 сен
M1T03Анализ временного ряда методом «Гусеница»     24 сен
M2T04Многомерные функции Хаара, сжатие изображений, паркет       01 окт
M2T05Ортогональные вейвлет-семейства   08 окт
M2T06Кратномасштабный анализ/синтез сигналов   15 окт
M2T07Вейвлет-пакеты   22 окт
M3T08Лифтинг-схема дискретного вейвлет-преобразования   29 окт
M3T09Полифазная матрица и банк фильтров дискретного вейвлет-преобразования   05 ноя
M3T10Алгоритм Евклида для полиномов Лорана   19 ноя
M3T11Факторизация полифазной матрицы   26 ноя
M4T12Процедура последовательного деления   03 дек
M4T13Кардинальные базисные сплайны   10 дек
M4T14Неравномерные базисные сплайны   17 дек
M4T15Вейвлет-семейство неравномерных базисных сплайнов, интерполирующих крайние точки   24 дек

Литература

  1. Сато Ю. Без паники! Цифровая обработка сигналов. — М. : Додэка-XXI, 2017. — 176 С.
  2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1973. — 832 С.  
  3. Котельников И.А., Чеботаев П.З. по-русски. 3-е изд. — Новосибирск: Сибирский хронограф, 2004. — 496 с.
  4. Overleaf Online Editor — © 2023 Overleaf  
  5. Львовский С.М. Набор и вёрстка в системе . 3-е изд. — 2003. — 488 c.
  6. Wolfram Language & System. Documentation Center — © 2023 Wolfram  
  7. 0serg Простыми словами о преобразовании Фурье. — Habrahabr, 2013.
  8. Голяндина Н.Э. Метод «Гусеница»–SSA: анализ временных рядов (учебное пособие). — СПб, 2004. — 74 c.
  9. Померанцев А. Метод Главных Компонент (PCA). — СПб: Российское хемометрическое общество, 2008. — 20 c.
  10. Jensen A., la Cour-Harbo A. Ripples in mathematics: the discrete wavelet transform. — Springer, 2001. — 246 P.
  11. Resnikoff H.L., Wells R.O. Wavelet Analysis and the Scalable Structure of Information. — Springer, 1998. — 435 p.
  12. Abbott P. Wavelets. An Introduction. — University of Western Australia. — 48 p.
  13. Wasilewski F. Wavelet browser by pywavelets. — en.ig.ma, 2008-2022.
  14. Столниц Э., ДеРоуз Т., Салезин Д. Вейвлеты в компьютерной графике. — Ижевск: НИЦ «Реrулярная и хаотическая динамика», 2002. — 272 С.
  15. Норре H. [et al.] Piecewise smooth surface reconstruction. In Proceedings of SIGGRAPH'94. — АСМ, New York, 1994. — P.295-302.
  16. Чуи К. Введение в вэйвлеты. — М.: Мир, 2001. — 412 с.
  17. Getreuer P. Filter Coefficients to Popular Wavelets. 2006. — 11 p.
  18. Michael S. Floater Spline methods. — University of Oslo, 2013. — 222 с.

Результаты

№ЛекцииМ1М2М3М4Итог
L M  T01   T02   T03   T04   T05   T06   T07   T08   T09   T10   T11   T12   T13   T14   T15   Z   R 
 1.  16 9 1110 2612 2612 2812 2812   ✓   V
 2.   7   8  119 189 239 299 1010 2210 2210 2810 411 1811 2511 412 1412 1912 2612   ✓   A
 3.   1   16  109 179 249 110 710 1510 1710 2910 111 1911 2611 312 1012 1712 2412   ✓   B
 4.   10   3  119 169 219 299 510 1510 1710 3110 111 2111 2311 3011 612 1312 2312   ✓   C
 5.   11   10  1810 1810 1810 3110 3110 3110 1311 1311 2711 2711 1212 2412 2512   ✓   O
 6.  12 17 2612 2612 2612 2612   ✓   Y
 7.   12  1912 1912 1912 1912   ✓   Z
 8.   2   5  119 219 279 410 1110 1710 1810 111 811 2111 2811 712 2012 2612   ✓   K
 9.   11   4  1010 3110 3110 1010 2110 2812 2812 2812 2512   ✓   S
 10.   8   2  99 239 279 110 1110 2110 2210 211 611 1712 2512   ✓   L
 11.  6 2612 2612 2612 2612   ✓   U
 12.   10   7  412 111 110 412 412 1810 1810 2910 811 2411 2811 512 1912 2012   ✓   I
 13.   17   2  109 229 249 1510 1510 2210 2210 1312 1312 1712 2312 2612 3012   ✓   G
 14.  10  9  109 1410 110 1810 3110 311 2111 1012   ✓   J
 15.   11   10  1311 412 1411 1511 512 1611 2412 2011 2412   ✓   P
 16.  14 1812 2412 2512 2512   ✓   W
 17.  11  4  2612 2510 3110 2312 2612   ✓   M
 18.   3   5  910 310 2310 2712 2712   ✓   N
 19.  14 1 811 412 512 2812 2812 412   ✓   R
 20.   12  1610 2510 2510 3010 212 1112 2412 1112 1112 2412 2412   ✓   X
 21.   7   8  139 199 299 299 1110 1911 1911 1111 1111 1811 2211 1012 1512 2512 2612   ✓   F
 22.   6   5  79 139 209 309 710 1210 1810 2510 411 1811 1612   ✓   H
 23.   6   4  1410 1012 1312 2512   ✓   T
 24.   3   16  99 199 249 310 910 1510 1710 2910 111 1911 41 312 1012 2712   ✓   E
 25.   1   13  109 179 249 110 910 1510 2410 2910 511 2111 2611 412 1012 1712 2412   ✓   D
 26.  14  9  1311 1112 21 21 21 21 2210 1112 611 21 21 1012 1012 1612 2412   ✓   Q

 

Контрольные вопросы

    1. Сигналы

  1. Сигнал: аналоговый, дискретный, цифровой
  2. Временной ряд, предподготовка временного ряда, заполнение пропусков
  3. Сглаживание временного ряда, скользящее среднее
  4. Линейный коэффициент корреляции, автокорреляционная функция, взаимокорреляционная функция
  5. Ряд Фурье, частичная сумма ряда Фурье, тригонометрический полином
  6. Дискретное преобразование Фурье
  7. Спектр сигнала, амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) сигнала
  8. Плоский многозвенный шарнир, спирограф
  9. Гармоническое колебание, параметры гармонического колебания: частота, амплитуда, начальная фаза; децибел
  10. Дельта-функция Дирака δ(t), прямоугольная функция Π(t), кардинальный синус sinc(t), гребень Дирака Ш(t)
  11. Свёртка сигналов
  12. Преобразования Фурье: FT — преобразование Фурье, DFT — дискретное преобразование Фурье, FFT — быстрое преобразование Фурье
  13. Аналоговый сигнал и соответствующий ему временной ряд, интервал наблюдения и интервал дискретизации
  14. Тренд, колебание, шум
  15. Выделение тренда методом наименьших квадратов (OLS — Ordinary Least Squares)
  16. Метод неопределённых коэффициентов, псевдообратная матрица
  17. Анализ временного ряда методом «Гусеница», (SSA – Singular Spectrum Analysis)
  18. Сингулярное разложение матрицы (SVD — Singular-Value Decomposition)
  19. Временной ряд и соответствующая ему траекторная матрица, ганкелева матрица (Hankel matrix)
  20. Выделение главных компонент (PCA — Principal Component Analysis)
  21. Определение периода и частоты колебания при помощи автокорреляционной функции
  22. Определение начальной фазы колебания при помощи корреляционной функции

    23. 2. Вейвлет-анализ

  23. Преобразование Хаара, вейвлетограмма
  24. Масштабирующая функция Хаара и вейвлет Хаара
  25. Тензорное произведение преобразований Хаара, вейвлетограмма изображения, сжатие изображений
  26. Общая схема построения многомерной масштабирующей функции Хаара
  27. Двухмасштабное соотношение, носитель многомерной масштабирующей функции Хаара и его декомпозиция, паркет
  28. Ортогональные вейвлет-семейства, общая схема построения ортогонального вейвлет-семейства
  29. Порождающие функции: масштабирующая функция и вейвлет, длина носителя функции
  30. Двухмасштабное соотношение, вычисление точных значений порождающих функций в диадических точках
  31. Вейвлет-семейства, кратномасштабный анализ (MultiResolution Analysis, MRA), разбиение единицы
  32. Прямое и обратное дискретные вейвлет-преобразования (Discrete Wavelet Transform, DWT)
  33. Вейвлет-анализ и вейвлет-синтез сигналов, матрицы анализа/синтеза, вейвлетограмма сигнала

    34. 3. Лифтинг

  34. Лифтинг-схема дискретного вейвлет-преобразования и различные техники её реализации
  35. Свёртка последовательностей, Z-преобразование, полиномы Лорана
  36. Дискретное вейвлет-преобразование в терминах полиномов Лорана
  37. Полифазные матрицы дискретного вейвлет-преобразования
  38. Банк фильтров дискретного вейвлет-преобразования, амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) фильтра
  39. Связь полифазной матрицы с банком фильтров
  40. Вейвлетограмма и вейвлет-пакеты дискретного сигнала, восстановление сигнала из вейвлет-пакетов
  41. Оптимальное разложение дискретного сигнала на вейвлет-пакеты
  42. Алгоритмом Евклида для полиномов Лорана
  43. Процедра разложения полифазной матрицы в лифтинг-схему

    44. 4. Базисные сплайны

  44. Кривые последовательного деления; усредняющая, оценочная и касательная маски
  45. Поверхности последовательного деления, схема Лупа
  46. Семейства равномерных базисных сплайнов, коэффициенты двухмасштабного соотношения
  47. B-сплайн кривые, область определения параметра параметризации, разбиение единицы
  48. Полуортогональные и биортогональные вейвлет-семейства
  49. Кратномасштабное редактирование замкнутой кривой
  50. Неравномерные базисные сплайны, формула Кокса-деБура
  51. Базисные сплайны, интерполирующие конечные точки
  52. B-сплайн функции: узлы, каркас, алгоритм деБура быстрого вычисления значений
  53. Матричное представление базисных сплайнов, метод вставки узлов (алгоритм Осло)
  54. Полуортогональные вейвлет-семейства сплайнов, интерполирующих крайние точки; конструирование базиса такого семейства