Лабораторная работа №5

Математические модели с запаздыванием

Мат. моделирование динамических процессов 1
БГУ, ММФ, 3 курс, 6 семестр
специальность Компьютерная математика и системный анализ
апрель 2023
ММФ, КМ и СА, доц. Лаврова О.А., доц. Щеглова Н.Л.

Задание 1. Метод последовательного интегрирования

Напишите пользовательскую функцию solveDelay[f_, T_, {t0_, tend_}, phi_], которая реализует метод последовательного интегрирования (метод шагов) для численного решения начальной задачи для одного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом

x'(t)==f(t,x(t),x(t-T)),      (Subscript[t, 0])<t≤(Subscript[t, end])
x(t)==ϕ(t),                                         (Subscript[t, 0])-T≤t≤(Subscript[t, 0])

где T=const>0 определяет величину запаздывания, начальная функция ϕ(t) полагается заданной на начальном множестве (Subscript[I, 0]):=[(Subscript[t, 0])-T,(Subscript[t, 0])].

Рекомендации по выполнению Задания 1

Используйте функцию NDSolve для решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения без запаздывания на каждом шаге метода последовательного интегрирования.

Реализация последовательности шагов возможна с помощью оператора повторных действий NestList и функции Piecewise для представления кусочной гладкой функции решения x(t) на интервалах (Subscript[I, k]):=[(Subscript[t, 0])+(k-1)T,(Subscript[t, 0])+k T], k=0,1,2,...

?NestList

?Piecewise

Задание 2. Линейное дифференциальное уравнение уравнение с запаздывающим аргументом

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом вида

x'(t)==-((π x(t-T))/(2 T)).

Задание 2.1 (Аналитическое решение)

Покажите с помощью символьных преобразований в Mathematica, что функция x(t)=C cos(((π t)/(2 T))) является решением уравнения (2) для произвольного значения константы C и заданного значения параметра запаздывания T=const>0.

Задание 2.2 (Численное решение)

Сформулируйте произвольную начальную задачу для уравнения с запаздывающим аргументом (2). 

Решите численно сформулированную начальную задачу с помощью пользовательской функции solveDelay из Задания 1 и с помощью встроенной функции NDSolve. Сравните два численных решения графически и численно.

Рекомендации по выполнению Задания 2.2

Пример из справочной системы Mathematica применения встроенной функции NDSolve для решения дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом

T = 2;

sol=NDSolve[{x'[t]==x[t](x[t-Pi]-x[t-T]),x[t/;t≤0]==Cos[t]},x,{t,0,10T}];

Plot[Evaluate[x[t] /. First@First@sol],{t,0,5T}, PlotRange->All]

Задание 3.  Начальная задача для уравнения Хатчинсона

Математическая модель

Рассмотрим начальную задачу для уравнения Хатчинсона в безразмерных переменных

N'(t)==N(t)(1-N(t-T)),                 t>0
N(t)==ϕ(t),                                      -T≤t≤0

где начальная функция ϕ(t)=1+(t/T) задана на начальном множестве (Subscript[I, 0])=[-T,0], параметр запаздывания T=const>0.

Задание 3.1 (Численное решение)

Изобразите в одной системе координат графики решений N(t) модели Хатчинсона (3), построенные с помощью пользовательской функции solveDelay из Задания 1 для различных значений T. Рассмотрите случаи  0<T<(π/2), T=(π/2), T>(π/2).

Проверьте корректность построенных численных решений сравнением с решениями модели Хатчинсона (3), полученными с помощью NDSolve.

Задание 3.2 (Качественное поведение)

На основании построенных графиков решений в Задании 3.1 сформулируйте выводы о характере устойчивости положения равновесия N(t)≡1 модели Хатчинсона (3) для случаев 0<T<(π/2), T=(π/2), T>(π/2).

Задание 4. Модель регуляции концентрации клеток крови

Математическая модель

c'(t)==((λ (a^m)c(t-T))/((a^m)+(((c(t-T)))^m)))-g c(t),    t>0
c(t)==ϕ(t),                                         -T≤t≤0

где c(t)≥0 -- концентрация клеток крови, T=const>0 -- временная задержка в воспроизводстве новых клеток крови и поступлении их в кровоток,  λ=const>0, a=const>0, m=const>0, g=const>0 -- заданные параметры модели.  Первое слагаемое в правой части уравнения отвечает за воспроизводство клеток, второе слагаемое -- за гибель клеток.

При обезразмеривании концентрации вида (SuperStar[c])=c/a уравнение модели (4) запишется в виде

((d(SuperStar[c])(t))/(dt))==((λ (SuperStar[c])(t-T))/(1+((((SuperStar[c])(t-T)))^m)))-g (SuperStar[c])(t).

Математическая модель (4) впервые предложена в [3].

Задание 4.1 (Численное решение)

Решите численно начальную задачу для уравнения (5) с помощью пользовательской функции solveDelay для следующих значений параметров, соответствующих процессу регуляции лейкоцитов,

(a) λ=0.2 ((день)^(-1)), m=10, g=0.1 ((день)^(-1)), T=6  дней,
(b) λ=0.2 ((день)^(-1)), m=10, g=0.1 ((день)^(-1)), T=20  дней

и для начальной функции ϕ(t)=0.1, заданной на начальном множестве (Subscript[I, 0])=[-T,0] , при 0≤ t≤600 дней.

Анализируя уравнение (5), покажите, что одним из положений равновесия для параметров (a) и (b) является решение вида (SuperStar[c])(t)≡1.

Сравните построенные численные решение с приведенными ниже решениями из [1, стр. 27, Рис. 1.15] для случаев (а) и (b), соответственно.

По графикам численных решений видно, что величина запаздывания T в воспроизводстве лейкоцитов влияет на динамику изменения концентрации: периодическое изменение концентрации при T=6 или апериодическое изменение концентрации при T=20. Шестидневный период (T=6) является нормой для изменения концентрации лейкоцитов в крови человека. Увеличение периода приводит к апериодическому изменению концентрации и может являться причиной нарушений здоровья и заболеваний человека.

Задание 4.2 (Фазовый портрет)

Качественное поведение решения для рассматриваемой модели регуляции концентрации клеток крови (периодическое поведение или апериодическое поведение) можно определить по траекториям в фазовой плоскости (c(t),c(t-T)).

Изобразите фазовые траектории решений начальной задачи для уравнения (5) при фиксированных значениях параметров λ=2, g=1, T=2 и различных значениях параметра m={7,7.75, 8.5, 8.79,9.65, 9.69715, 9.6975, 9.76, 10, 20}. Начальная функцию ϕ(t)=0.9 на начальном множестве (Subscript[I, 0])=[-T,0]  .

Сравните с аналогичными фазовыми траекториями численных решений из [1, стр. 29, Рис. 1.16] и [3, Рис. 6].

На основании построенных фазовых траекторий сформулируйте выводы о качественном поведении решения математической модели для уравнения (5) в окрестности положения равновесия  c(t)≡1 для различных значений параметра m.

Рекомендации по выполнению Задания 4.2

Для построения фазового портрета можно воспользоваться примером Mackey-Glass delay differential equation из справочной системы Mathematica для функции NDSolve.

Литература

[1] Д. Мюррей. Математическая биология. Том I. Введение. -- М.-Ижевск, 2009.

[2] Л. Э. Эльсгольц, С. Б. Норкин. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. -- М.: Наука, 1971.

[3] L. Glass, M. C. Mackey. Pathological conditions resulting from instabilities in physiological control systems. Ann. N. Y. Acad. Sci., 316:214--235, 1979.

[4] А. Д. Мышкис. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. -- М.: Наука, 1972.

[5] Ю. Ф. Долгий, П. Г. Сурков. Математические модели динамических систем с запаздыванием. -- Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2012.